定义
程序调用自身的编程技巧称为递归(recursion)。

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递归的三大要素

第一要素：明确你这个函数想要干什么

对于递归，我觉得很重要的一个事就是，这个函数的功能是什么，他要完成什么样的一件事，而这个，是完全由你自己来定义的。也就是说，我们先不管函数里面的代码什么，而是要先明白，你这个函数是要用来干什么。

例如，我定义了一个函数

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){
    
}

这个函数的功能是算 n 的阶乘。好了，我们已经定义了一个函数，并且定义了它的功能是什么，接下来我们看第二要素。

第二要素：寻找递归结束条件

所谓递归，就是会在函数内部代码中，调用这个函数本身，所以，我们必须要找出递归的结束条件，不然的话，会一直调用自己，进入无底洞。也就是说，我们需要找出当参数为啥时，递归结束，之后直接把结果返回，请注意，这个时候我们必须能根据这个参数的值，能够直接知道函数的结果是什么。

例如，上面那个例子，当 n = 1 时，那你应该能够直接知道 f(n) 是啥吧？此时，f(1) = 1。完善我们函数内部的代码，把第二要素加进代码里面，如下

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){
    if(n == 1){
        return 1;
    }
}

有人可能会说，当 n = 2 时，那我们可以直接知道 f(n) 等于多少啊，那我可以把 n = 2 作为递归的结束条件吗？

当然可以，只要你觉得参数是什么时，你能够直接知道函数的结果，那么你就可以把这个参数作为结束的条件，所以下面这段代码也是可以的。

// 算 n 的阶乘(假设n>=2)
int f(int n){
    if(n == 2){
        return 2;
    }
}

注意我代码里面写的注释，假设 n >= 2，因为如果 n = 1时，会被漏掉，当 n <= 2时，f(n) = n，所以为了更加严谨，我们可以写成这样：

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){
    if(n <= 2){
        return n;
    }
}

第三要素：找出函数的等价关系式

第三要素就是，我们要不断缩小参数的范围，缩小之后，我们可以通过一些辅助的变量或者操作，使原函数的结果不变。

例如，f(n) 这个范围比较大，我们可以让 f(n) = n * f(n-1)。这样，范围就由 n 变成了 n-1 了，范围变小了，并且为了原函数f(n) 不变，我们需要让 f(n-1) 乘以 n。

说白了，就是要找到原函数的一个等价关系式，f(n) 的等价关系式为 n * f(n-1)，即

f(n) = n * f(n-1)。

这个等价关系式的寻找，可以说是最难的一步了,所以需要多加做题联系…

找出了这个等价，继续完善我们的代码，我们把这个等价式写进函数里。如下：

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){
    if(n <= 2){
        return n;
    }
    // 把 f(n) 的等价操作写进去
    return f(n-1) * n;
}

至此，递归三要素已经都写进代码里了，所以这个 f(n) 功能的内部代码我们已经写好了。

这就是递归最重要的三要素，每次做递归的时候，你就强迫自己试着去寻找这三个要素。

案例1：斐波那契数列

斐波那契数列的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34….，即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1…..,第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 项的值是多少。

1、第一递归 函数功能

假设 f(n) 的功能是求第 n 项的值，代码如下：

int f(int n){

}

2、找出递归结束的条件

显然，当 n = 1 或者 n = 2 ,我们可以轻易着知道结果 f(1) =1, f(2) = 1。所以递归结束条件可以为 n <= 2。代码如下：

int f(int n){
    if(n <= 2){
        return 1;
    }
}

第三要素：找出函数的等价关系式

题目已经把等价关系式给我们了，所以我们很容易就能够知道 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。我说过，等价关系式是最难找的一个，而这个题目却把关系式给我们了，这也太容易，好吧，我这是为了兼顾几乎零基础的读者。

所以最终代码如下：

int f(int n){
    // 1.先写递归结束条件
    if(n <= 2){
        return n;
    }
    // 2.接着写等价关系式
    return f(n-1) + f(n - 2);
}

案例2：小青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

1、第一递归函数功能

假设 f(n) 的功能是求青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法，代码如下：

int f(int n){

}

2、找出递归结束的条件

我说了，求递归结束的条件，你直接把 n 压缩到很小很小就行了，因为 n 越小，我们就越容易直观着算出 f(n) 的多少，所以当 n = 1时，你知道 f(1) 为多少吧？够直观吧？即 f(1) = 1。代码如下：

int f(int n){
    if(n == 1){
        return 1;
    }
}

第三要素：找出函数的等价关系式

每次跳的时候，小青蛙可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶，也就是说，每次跳的时候，小青蛙有两种跳法。

第一种跳法：第一次我跳了一个台阶，那么还剩下n-1个台阶还没跳，剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。

第二种跳法：第一次跳了两个台阶，那么还剩下n-2个台阶还没，剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。

所以，小青蛙的全部跳法就是这两种跳法之和了，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。至此，等价关系式就求出来了。于是写出代码：

int f(int n){
    if(n == 1){
        return 1;
    }
    ruturn f(n-1) + f(n-2);
}

大家觉得上面的代码对不对？

答是不大对，当 n = 2 时，显然会有 f(2) = f(1) + f(0)。我们知道，f(0) = 0，按道理是递归结束，不用继续往下调用的，但我们上面的代码逻辑中，会继续调用 f(0) = f(-1) + f(-2)。这会导致无限调用，进入死循环。

这也是我要和你们说的，关于递归结束条件是否够严谨问题，有很多人在使用递归的时候，由于结束条件不够严谨，导致出现死循环。也就是说，当我们在第二步找出了一个递归结束条件的时候，可以把结束条件写进代码，然后进行第三步，但是请注意，当我们第三步找出等价函数之后，还得再返回去第二步，根据第三步函数的调用关系，会不会出现一些漏掉的结束条件。就像上面，f(n-2)这个函数的调用，有可能出现 f(0) 的情况，导致死循环，所以我们把它补上。代码如下：

int f(int n){
    //f(0) = 0,f(1) = 1，等价于 n<=1时，f(n) = n。
    if(n <= 1){
        return 1;
    }
    ruturn f(n-1) + f(n-2);
}

有人可能会说，我不知道我的结束条件有没有漏掉怎么办？别怕，多练几道就知道怎么办了。

递归优化

递归常见的问题：堆栈溢出、重复计算、空间度高(空间复杂度高)

1. 考虑是否重复计算

告诉你吧，如果你使用递归的时候不进行优化，是有非常非常非常多的子问题被重复计算的。

啥是子问题？ f(n-1),f(n-2)….就是 f(n) 的子问题了。

例如对于案例2那道题，f(n) = f(n-1) + f(n-2)。递归调用的状态图如下：

看到没有，递归计算的时候，重复计算了两次 f(5)，五次 f(4)。。。。这是非常恐怖的，n 越大，重复计算的就越多，所以我们必须进行优化。

如何优化？一般我们可以把我们计算的结果保证起来，例如把 f(4) 的计算结果保证起来，当再次要计算 f(4) 的时候，我们先判断一下，之前是否计算过，如果计算过，直接把 f(4) 的结果取出来就可以了，没有计算过的话，再递归计算。

用什么保存呢？可以用数组或者 HashMap 保存，我们用数组来保存把，把 n 作为我们的数组下标，f(n) 作为值，例如 arr[n] = f(n)。f(n) 还没有计算过的时候，我们让 arr[n] 等于一个特殊值，例如 arr[n] = -1。

当我们要判断的时候，如果 arr[n] = -1，则证明 f(n) 没有计算过，否则， f(n) 就已经计算过了，且 f(n) = arr[n]。直接把值取出来就行了。代码如下：

// 我们实现假定 arr 数组已经初始化好的了。
int f(int n){
    if(n <= 1){
        return n;
    }
    //先判断有没计算过
    if(arr[n] != -1){
        //计算过，直接返回
        return arr[n];
    }else{
        // 没有计算过，递归计算,并且把结果保存到 arr数组里
        arr[n] = f(n-1) + f(n-1);
        reutrn arr[n];
    }
}

也就是说，使用递归的时候，必要 须要考虑有没有重复计算，如果重复计算了，一定要把计算过的状态保存起来。

2. 考虑是否可以自底向上

对于递归的问题，我们一般都是从上往下递归的，直到递归到最底，再一层一层着把值返回。

不过，有时候当 n 比较大的时候，例如当 n = 10000 时，那么必须要往下递归10000层直到 n <=1 才将结果慢慢返回，如果n太大的话，可能栈空间会不够用。

对于这种情况，其实我们是可以考虑自底向上的做法的。例如我知道

f(1) = 1;

f(2) = 2;

那么我们就可以推出 f(3) = f(2) + f(1) = 3。从而可以推出f(4),f(5)等直到f(n)。因此，我们可以考虑使用自底向上的方法来取代递归，代码如下：

public int f(int n) {
       if(n <= 2)
           return n;
       int f1 = 1;
       int f2 = 2;
       int sum = 0;

       for (int i = 3; i <= n; i++) {
           sum = f1 + f2;
           f1 = f2;
           f2 = sum;
       }
       return sum;
   }

这种方法，其实也被称之为递推。

扩展

### 将递归代码改写为非递归代码

### 尾递归：如何借助尾递归避免递归过深导致的堆栈溢出

参考文章

为什么你学不会递归？刷题几个月，告别递归，谈谈我的经验